Newtonyen olmayan analizin cebirsel ve topolojik altyapısı

Bu tez çalışması, Newtonyen (klasik) analizde yer alan cebirsel ve topolojik yapılar ile sınır kavramlarını temel alarak, Newtonyen olmayan analizin cebirsel ve topolojik altyapısını sistematik ve bütüncül bir yaklaşımla ortaya koymayı amaçlamaktadır. Tez çalışmasının başlangıcında, Newtonyen olmayan analiz kapsamında üreteç fonksiyonu alfa (α) olan sayı kümeleri ve bu kümeler üzerinde tanımlı işlemler verilmiştir. Bunu takiben, klasik analizde olduğu gibi, Newtonyen olmayan analizde de cebirsel ve topolojik altyapı sistematik bir biçimde ele alınmıştır. Cebirsel yönden, alfa reel sayılar kümesi üzerinde tanımlanan grup ve cisim yapılarının yanı sıra, bu küme üzerinde oluşturulan vektör uzayı yapısı incelenmiş ve ilgili cebirsel bağıntılar ortaya konmuştur. Çalışmanın devamında, Newtonyen olmayan analizin topolojik altyapısına ilişkin temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Bu çerçevede, alfa aralıklar, alfa komşuluklar, alfa yuvarlar ve alfa metrik uzay gibi kavramlar tanımlanmış; söz konusu yapıların karakteristik özellikleri analiz edilmiştir.

This thesis aims to construct the algebraic and topological foundation of non-Newtonian analysis through a systematic and comprehensive approach, grounded in the foundational structures and boundedness concepts of Newtonian (classical) analysis. At the beginning of the study, sets of numbers generated by a generator function alpha (α) and the operations defined on these sets are given in the context of non-Newtonian analysis. Subsequently, analogous to the classical case, the algebraic and topological structures underlying non-Newtonian analysis are rigorously developed. From an algebraic standpoint, group and field structures defined over the set of α-real numbers are investigated, followed by the construction and examination of a corresponding vector space defined over the classical field of real numbers. In the ensuing sections, fundamental definitions and theorems concerning the topological infrastructure of non-Newtonian analysis are presented. In this context, key notions such as α-intervals, α-neighborhoods, α-open balls, and α-metric spaces are formally defined, and their structural properties are analyzed in depth.