Shehu analiz dönüşüm yöntemi ile rastgele kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin analizi

Bu tez çalışmasında, kesirli mertebeden adi ve kısmi diferansiyel denklemler ve sistemlerinin rastgele parametreler içeren halleri ele alınmış ve bu tür denklemlerin çözümlenmesinde Shehu analiz dönüşüm yöntemi kullanılmıştır. Shehu analiz dönüşüm yöntemi, diğer dönüşüm tekniklerine göre daha basit işlem adımlarına sahip olması, kısa sürede yakınsak sonuçlar elde edilmesini sağlaması açısından avantajlıdır. Çalışmada öncelikle Caputo-Fabrizio kesirli mertebeden türev tanımı, rastgele Bagley-Torvik tipi denklem tanımı, ters shehu dönüşüm yöntemi tanım ve özellikleri verilmiştir. Katsayılar ya da başlangıç koşulları sürekli olasılık dağılımlarından Normal, Düzgün, Üstel, Üçgensel, Beta, Erlang ve Gamma dağılımlarından seçilerek denklemler rastgele hale getirilmiştir. Rastgele alınan başlangıç koşulları veya katsayılara sahip kesirli mertebeden adi ve kısmi diferensiyel denklemler için yaklaşık analitik çözümler türetilmiş ve bu çözümlerin beklenen değer, varyans ve güven aralıkları hesaplanmıştır. Türetilmiş çözümlerin karşılık gelen grafikleri, Matlab veya Maple yazılım paket programları kullanılarak bulunmuştur.Elde edilen sonuçlar, Shehu analiz dönüşüm yönteminin rastgele kesirli mertebeden adi ve kısmi diferansiyel denklem ve denklem sistemlerinin analitik ve yaklaşık çözümlerinde başarılı, hızlı ve güvenilir bir yöntem olduğunu ortaya koymuştur. Bu yönüyle çalışma, uygulamalı matematik alanında önemli bir katkı sunmaktadır

This thesis examines fractional order ordinary and partial differential equations, together with their systems incorporating random parameters, utilizing the Shehu analysis transformation method for their resolution. The Shehu analysis transformation method is beneficial due to its streamlined process stages relative to other transformation approaches and its ability to yield convergent findings rapidly.Initially, the paper presented the definition and characteristics of the Caputo-Fabrizio fractional order derivative, the formulation of the random Bagley-Torvik type equation, and the inverse Shehu transformation technique. The coefficients or beginning conditions were derived from continuous probability distributions, including Normal, Uniform, Exponential, Triangular, Beta, Erlang, and Gamma distributions, and the equations were randomized. Approximate analytical solutions for fractional-order ordinary and partial differential equations with random initial conditions or coefficients were derived and the expected values, variance, and confidence intervals of these solutions were calculated. The corresponding graphs of the derived solutions were found using Matlab or Maple software packages program.The results indicate that the Shehu analysis transformation method is an effective, rapid, and dependable approach for analytical and approximation solutions of ordinary and partial differential equations, as well as systems of arbitrary fractional order. This paper significantly contributes to the domain of applied mathematics.