Rastgele kesirli mertebeden diferensiyel denklemlerin varyasyonel iterasyon yöntemi ile çözümü

Bu çalışma varyasyonel iterasyon yöntemini ile rastgele diferensiyel denklemlerin çözümlerinin bulunmasını ve analiz edilmesini içermektedir. Bu bağlamda adi, kısmi ve kesirli diferensiyel denklem veya denklem sistemleri ele alınmış bu denklemler belirlenen olasılık dağılımları altında rastgele yapılarak çözümleri bulunmuştur. Çözümlerin beklenen değeri, varyansı, güven aralıkları ve bazı problemlerde değişim katsayısı da hesaplanmış; grafikleri MATLAB programında oluşturulmuştur. Tezin başlangıcında literatür de yer alan çalışmalar kısaca listelenmiş devamında gerekli ön bilgiler verilmiştir. Çalışmanın ilk bölümünde rastgele adi diferensiyel denklemler ele alınmış LVIM ile çözümleri bulunarak, çözüm davranışları analiz edilmiştir. İkinci bölümde Caputo kesir türevli rastgele diferensiyel denklemlere LVIM uygulanmış, çözümleri bulunarak çözüm davranışları analiz edilmiştir. Üçüncü bölümde Atangana-Baleanu kesir türevli rastgele kısmi diferensiyel denklemlere klasik VIM uygulanarak çözümleri bulunmuş ve çözüm davranışları analiz edilmiştir. Son bölümde ise Rieman-Liouville kesir türevli rastgele diferensiyel denklemlerin çözümleri Adomian-VIM ile bulunmuş ve çözüm davranışları analiz edilmiştir

This study aims to find and analyze the solutions of random differential equations using the Variational Iteration Method (VIM). In this context, ordinary, partial, and fractional differential equations, as well as systems of equations, are considered and solved under specified probability distributions by introducing randomness. The expected value, variance, confidence intervals, and, in some cases, the coefficient of variation of the solutions are also calculated, and their graphs are generated using MATLAB. The thesis begins with a brief overview of relevant literature, followed by the necessary theoretical background. In the first section, random ordinary differential equations are addressed, and their solutions are obtained using the Variational Iteration Method (VIM), with an analysis of the solution behaviors. In the second section, the method is applied to random differential equations involving the Caputo fractional derivative, and the solutions are analyzed similarly. The third section focuses on random partial differential equations with the Atangana–Baleanu fractional derivative, where the classical VIM is used to obtain and analyze the solutions. Finally, in the fourth section, the Adomian–VIM approach is employed to solve random differential equations involving the Riemann–Liouville fractional derivative, with a corresponding analysis of solution behaviors. This study demonstrates that VIM is an effective method for solving various types of differential equations and enables the accurate computation of expected values and other statistical properties when randomness is introduced.