COVID-19 modelinin dinamik analizi

In this thesis, the spread dynamics of the Covid-19 pandemic were investigated using mathematical modeling methods. The study first addressed the SIR and its derivatives, which are classical deterministic models, and conducted analyses of the fundamental reproduction number (R_0 ), equilibrium points, and stability of these models. Subsequently, mathematical models developed for Covid-19 were analyzed, investigating the positivity, boundedness, and invariant regions of the solution. The memory effect and long-term dependency structure of the epidemic were investigated using fractional-order differential equations. Fractional models based on Caputo, Conformal, and Grünwald-Letnikov derivatives were solved using analytical and numerical methods. In this context, the Homotopy Analysis Method (HAM), q-HATM, Variational Iteration Method (VIM), and Non-Standard Finite Difference (NSFD) schemes were applied, and the resulting solutions were comparatively evaluated. Additionally, the uncertain spread of Covid-19 was modeled using stochastic differential equations, and numerical solutions were obtained using the Euler–Maruyama, Milstein, and Runge–Kutta methods. Furthermore, time-delay differential equations were used to incorporate effects such as immunity and incubation period into the model. The results demonstrate that the spread of Covid-19 can be more realistically explained not only with deterministic models but also with fractional-order and stochastic models. In this respect, the thesis contributes to both the epidemiological modeling literature and the applications of fractional analysis and numerical methods.

Bu tez çalışmasında, Covid-19 pandemisinin yayılım dinamikleri matematiksel modelleme yöntemleri ile incelenmiştir. Çalışmada öncelikle klasik deterministik modellerden SIR ve türevleri ele alınmış, bu modellerin temel üreme sayısı (R_0), denge noktaları ve kararlılık analizleri gerçekleştirilmiştir. Daha sonra, Covid-19 için geliştirilen matematiksel modellerin analizi yapılmış, çözümün pozitifliği, sınırlılığı ve değişmez bölgeleri araştırılmıştır. Kesirli mertebeden diferansiyel denklemler kullanılarak salgının hafıza etkisi ve uzun vadeli bağımlılık yapısı incelenmiş; Caputo, Uyumlu ve Grünwald-Letnikov türevleri temelinde oluşturulan kesirli modeller, analitik ve nümerik yöntemlerle çözülmüştür. Bu kapsamda, Homotopi Analiz Metodu (HAM), q-HATM, Varyasyonel İterasyon Yöntemi (VIM) ve Standart Olmayan Sonlu Fark (NSFD) şemaları uygulanmış, elde edilen çözümler karşılaştırmalı olarak değerlendirilmiştir. Ayrıca, stokastik diferansiyel denklemler kullanılarak Covid-19'un belirsizlik içeren yayılım süreci modellenmiş ve Euler–Maruyama, Milstein ve Runge–Kutta yöntemleriyle nümerik çözümler elde edilmiştir. Bunun yanı sıra, zaman gecikmeli diferansiyel denklemlerle bağışıklık ve kuluçka süresi gibi etkilerin modele yansıması sağlanmıştır. Elde edilen sonuçlar, Covid-19'un yayılım sürecinin yalnızca deterministik modellerle değil, kesirli mertebeden ve stokastik modellerle de daha gerçekçi bir şekilde açıklanabileceğini göstermektedir. Bu yönüyle tez, hem epidemiyolojik modelleme literatürüne hem de kesirli analiz ve nümerik yöntemlerin uygulamalarına katkı sağlamaktadır.