İterasyon yöntemi ile varyasyonel eşitsizlik, sabit nokta ve denge problemlerinin ortak çözümü

Bu tezde, reel Hilbert uzaylarında genelleştirilmiş lineer olmayan varyasyonel eşitsizlik, denge ve genişlemeyen dönüşümler için sabit nokta problemlerinin ortak çözümünü elde etmek amacıyla iki yeni iterasyon algoritması önerilmiş ve analiz edilmiştir. Birinci algoritma, söz konusu üç problemin ortak çözümünü yaklaşık olarak elde etmek amacıyla geliştirilmiştir. Hilbert uzaylarında, zayıf ve standart varsayımlar altında algoritma tarafından üretilen dizinin güçlü yakınsadığı ispatlanmıştır. İkinci algoritma ise D-plus iterasyon algoritması çerçevesine dayalı olarak geliştirilmiştir. Ekstra gradyan tipi yöntemlerin aksine, önerilen algoritmada genelleştirilmiş lineer olmayan varyasyonel eşitsizlik (GNVI) problemi için bir projeksiyon operatörü, denge problemi (EP) için bir rezolvent operatörü ve sabit nokta yapısından elde edilen genişlemeyen bir dönüşüm kullanılmıştır. Bu algoritma tarafından üretilen dizinin güçlü yakınsadığı standart varsayımlar altında ispatlanmış; ayrıca algoritmanın kararlılık ve pertürbasyon özellikleri incelenmiş ve açık hata tahminleri elde edilmiştir. Ayrıca, önerilen algoritmaların performansını değerlendirmek ve diğer iterasyon algoritmalarına göre sağladıkları avantajları ortaya koymak amacıyla sayısal örneklere ve çeşitli uygulamalara yer verilmiştir.

In this thesis, two novel iterative algorithms are proposed and analyzed to obtain a common solution to generalized nonlinear variational inequality, equilibrium, and fixed-point problems for nonexpansive mappings in real Hilbert spaces. The first algorithm is developed to approximate a common solution of these three classes of problems. It is proved that the sequence generated by the algorithm converges strongly under mild and standard assumptions in Hilbert spaces. The second algorithm is developed within the framework of the D-plus iterative algorithm. Unlike extragradient-type methods, the proposed algorithm employs a projection operator for the generalized nonlinear variational inequality (GNVI) problem, a resolvent operator for the equilibrium problem (EP), and a nonexpansive mapping derived from the fixed-point structure. It is shown that the sequence generated by the algorithm converges strongly under standard assumptions. Furthermore, the stability and perturbation properties of the algorithm are investigated, and explicit error estimates are derived. In addition, numerical examples and various applications are presented to evaluate the performance of the proposed algorithms and to demonstrate their advantages over existing iterative algorithms.