Pınar Açıkgöz

In this thesis, the spread dynamics of the Covid-19 pandemic were investigated using mathematical modeling methods. The study first addressed the SIR and its derivatives, which are classical deterministic models, and conducted analyses of the fundamental reproduction number (R_0 ), equilibrium points, and stability of these models. Subsequently, mathematical models developed for Covid-19 were analyzed, investigating the positivity, boundedness, and invariant regions of the solution. The memory effect and long-term dependency structure of the epidemic were investigated using fractional-order differential equations. Fractional models based on Caputo, Conformal, and Grünwald-Letnikov derivatives were solved using analytical and numerical methods. In this context, the Homotopy Analysis Method (HAM), q-HATM, Variational Iteration Method (VIM), and Non-Standard Finite Difference (NSFD) schemes were applied, and the resulting solutions were comparatively evaluated. Additionally, the uncertain spread of Covid-19 was modeled using stochastic differential equations, and numerical solutions were obtained using the Euler–Maruyama, Milstein, and Runge–Kutta methods. Furthermore, time-delay differential equations were used to incorporate effects such as immunity and incubation period into the model. The results demonstrate that the spread of Covid-19 can be more realistically explained not only with deterministic models but also with fractional-order and stochastic models. In this respect, the thesis contributes to both the epidemiological modeling literature and the applications of fractional analysis and numerical methods.

RDL DOI10.71008/gumushane.thesis.2025.239indekslendi

Pınar Açıkgöz

ÖZET Bu çalışmada iki ve üç boyutlu Zeeman modeli (kalp atış modeli ) incelenmiştir. Söz konusu modelde kararlılık analizi yapılacaktır. Tipik gevşemiş lif uzunluğunun durumu için analizler yapılmaktadır. Zeeman modellerinin yaklaşık analitik çözümleri elde edilecektir. Başlangıç olarak iki boyutlu Zeeman modeline gecikme (delay) terimi ilave edilerek kararlılık analizi gerçekleştirilecektir. Daha sonra bu çalışmada Zeeman tarafından geliştirilen kalp atış modeli olarak da bilinen modele, rastgele stokastik efektler eklenerek çözümün davranışını, p tansiyon normal dağılıma sahip bir rastgele değişken olması durumunda Zeeman modeli ele alınmış, x kalp kas lifinin ilk dört momentleri hesaplanarak, beklenen değer, varyans, standart sapma ve güven aralığı hesaplanmaktadır. Ayrıca sayısal yöntemlerden yararlanarak kalp atış modeli için grafik similasyonu oluşturulmaktadır. Kesirli (fractional) mertebeden türevli Zeeman modelinin kararlılık analizi yapılmıştır,ayrıca farklı mertebeden türevler için çözüm eğrileri elde edilmektedir. İki ve üç boyutlu Zeeman modeline wiener süreci (beyaz gürültü) terimleri eklenerek stokastik Zeeman modeli elde edilmiştir. Elde edilen bu stokastik model, Milstein ve Euler-Maruyama yöntemleriyle çözülmektedir. Deterministik, rastgele efektli ve stokastik Zeeman modelinin çözümleri karşılaştırılmaktadır. Rastgele Zeeman Kalp Atış Modelinin çözümü için Random Diferansiyel Dönüşüm Metodu (RDDM) kullanılmıştır. Parametreler ve başlangıç şartları sırasıyla Beta ve Normal dağılıma sahip rastgele değişkenler olarak alınmıştır. Rastgele Zeeman modelinin yaklaşık analitik çözümü yapılarak sistemin yaklaşık beklenen değer ve varyansı hesaplanmıştır. Random Diferansiyel Dönüşüm Metodu, bu metoddan elde edilen kesik seri çözümünün yakınsaklık oranı ve doğruluğunu artırmak için Pade yaklaşımı ve Laplace dönüşümünün kullanımını içeren Modified Diferansiyel Random Dönüşümü Metodu kullanılmıştır. Rastgele modelin çözümünden elde edilen sonuçlar ve bileşenlerin rastgele davranışları grafikler ve tablolar yardımıyla verilmiştir. Beta ve normal dağılımlı rastgele etkileri içeren rastgele modellerin çözüm davranışları karşılaştırılmıştır. Anahtar Kelimeler:Zeeman kalp atış modeli, kararlılık analizi, wiener süreç,delay (gecikme), Euler-Maruyama,Milstein,beklenen değer, varyans, Laplace-Pade yaklaşımı, Random Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi.